Question

【題目】如圖（示意），公路AM、AN圍成的是一塊頂角為鈍角α的角形耕地，其中．在該塊土地中處有一小型建筑，經(jīng)測(cè)量，它到公路、的距離、分別為，．現(xiàn)要過(guò)點(diǎn)修建一條直線公路，將三條公路圍成的區(qū)域建成一個(gè)工業(yè)園．設(shè)，，其中．

（1）試建立間的等量關(guān)系；

（2）為盡量減少耕地占用，問(wèn)如何確定B點(diǎn)的位置,使得該工業(yè)園區(qū)的面積最小？并求最小面積．

Answer 1

【答案】（1）3x＋2y＝xy；（2）當(dāng)AB＝10km時(shí)，最小面積為30km2

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AM，PF⊥AN，垂足為E、F，連接PA．設(shè)AB＝x，AC＝y．由S△ABC＝S△ABP+S△APC，求得面積的表達(dá)式，從而求得x，y的關(guān)系.

（2）運(yùn)用基本不等式可得最小值．

（1）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AM，PF⊥AN，垂足為E、F．因?yàn)镻到AM，AN的距離分別為3，2，

即PE＝3，PF＝2．由S△ABC＝S△ABP＋S△APC＝x3y2＝(3x＋2y)①

所以S△ABC＝xy② ，即3x＋2y＝xy．

（2）因?yàn)?x＋2y≥2，所以xy≥2．解得xy≥150．

當(dāng)且僅當(dāng)3x＝2y取“＝”，即x＝10，y＝15．

所以S△ABC＝xy有最小值30．

所以：當(dāng)AB＝10km時(shí)，該工業(yè)園區(qū)的面積最小，最小面積為30km2