Question

如圖橢圓的右頂點(diǎn)是A，上下兩個(gè)頂點(diǎn)分別為B，D，四邊形OANB是矩形（O為原點(diǎn)），點(diǎn)E，M分別為線段OA，AN的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：直線DE與直線BM的交點(diǎn)在橢圓C上；
（Ⅱ）若過(guò)點(diǎn)E的直線交橢圓于R，S兩點(diǎn)，K為R關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)（R，K，E不共線），問(wèn)：直線KS是否經(jīng)過(guò)x軸上一定點(diǎn)，如果是，求這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不是，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出直線DE、BM的方程，從而可得交點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程驗(yàn)證即可；
（Ⅱ）確定直線SK的方程，求得y=0時(shí)，橫坐標(biāo)為定值，即可得到結(jié)論．
解答：（Ⅰ）證明：由題意，得，
所以直線DE的方程，直線BM的方程為，------（2分）
由，得，
所以直線DE與直線BM的交點(diǎn)坐標(biāo)為，---------------（4分）
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024191219351118809/SYS201310241912193511188019_DA/6.png">，所以點(diǎn)在橢圓上．---------（6分）
（Ⅱ）設(shè)RS的方程為y=k（x-1），代入，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
設(shè)R（x₁，y₁），S（x₂，y₂），則K（x₁，-y₁），，
直線SK的方程為，令y=0，得，
將y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1）代入上式得，
所以直線SK經(jīng)過(guò)x軸上的點(diǎn)（4，0）．---------（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線方程，考查點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系，考查直線恒過(guò)定點(diǎn)，確定直線的方程是關(guān)鍵．