Question

如圖，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱長為a的正方體，E、F分別為棱AA₁與CC₁的中點(diǎn)，求四棱錐的A₁-EBFD₁的體積．

Answer 1

分析：法一：判斷四棱錐A₁-EBFD₁的底面是菱形，連接A₁C₁、EF、BD₁，說明A₁C₁到底面EBFD₁的距離就是A₁-EBFD₁的高，求出底面S菱形EBFD1，高的大小，即可得到棱錐的體積．
法二：三棱錐A₁-EFB與三棱錐A₁-EFD₁等底同高，棱錐VA1-EBFD1轉(zhuǎn)化為2•

1

3

•S△EBA1•a，求解即可．

解答：解：法一：∵EB=BF=FD₁=D₁E=

a2+( a 2 )2

=

5

2

a，
∴四棱錐A₁-EBFD₁的底面是菱形．（2分）
連接A₁C₁、EF、BD₁，則A₁C₁∥EF．
根據(jù)直線和平面平行的判定定理，A₁C₁平行于A₁-EBFD₁的底面，
從而A₁C₁到底面EBFD₁的距離就是A₁-EBFD₁的高（4分）
設(shè)G、H分別是A₁C₁、EF的中點(diǎn)，連接D₁G、GH，則FH⊥HG，F(xiàn)H⊥HD₁
根據(jù)直線和平面垂直的判定定理，有FH⊥平面HGD₁，
又，四棱錐A₁-EBFD₁的底面過FH，根據(jù)兩平面垂直的判定定理，
有A₁-EBFD₁的底面⊥平面HGD₁．作GK⊥HD₁于K，
根據(jù)兩平面垂直的性質(zhì)定理，有GK垂直于A₁-EBFD₁的底面．（6分）
∵正方體的對角面AA₁CC₁垂直于底面A₁B₁C₁D₁，∴∠HGD₁=90°．
在Rt△HGD₁內(nèi)，GD₁=

2

2

a，HG=

1

2

a，HD₁=

BD1

2

=

3

2

a．
∴

3

2

a•GK=

1

2

a•

2

2

a，從而GK=

6

6

a．（8分）
∴VA1-EBFD1=

1

3

S菱形EBFD1•GK=

1

3

•

1

2

•EF•BD₁•GK
=

1

6

•

2

a•

3

a•

6

6

a=

1

6

a³（10分）
解法二∵EB=BF=FD₁=D₁E=

a2+( a 2 )2

=

5

2

a，
∴四棱錐A₁-EBFD₁的底面是菱形．（2分）
連接EF，則△EFB≌△EFD₁．
∵三棱錐A₁-EFB與三棱錐A₁-EFD₁等底同高，
∴VA1-EFB=VA1-EFD1．
∴VA1-EBFD1=2VA1-EFB．（4分）
又VA1-EFB=VF-EBA1，
∴VA1-EBFD1=2VF-EBA1，（6分）
∵CC₁∥平面ABB₁A₁，
∴三棱錐F-EBA₁的高就是CC₁到
平面ABB₁A₁的距離，即棱長a．（8分）
又△EBA₁邊EA₁上的高為a．
∴VA1-EBFD1=2•

1

3

•S△EBA1•a=

1

6

a³．（10分）

點(diǎn)評：本小題主要考查直線與直線，直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系，以及空間想象能力和邏輯推理能力．