Question

【題目】1，4，9，16……這些數(shù)可以用圖1中的點陣表示，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派將其稱為正方形數(shù)，記第個數(shù)為.在圖2的楊輝三角中，第行是展開式的二項式系數(shù)，，…，，記楊輝三角的前行所有數(shù)之和為.

（1）求和的通項公式；

（2）當(dāng)時，比較與的大小，并加以證明.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），（Ⅱ），證明見解析

【解析】

（Ⅰ）由正方形數(shù)的特點知，由二項式定理的性質(zhì)，求出楊輝三角形第行個數(shù)的和，由此能求出和的通項公式；

（Ⅱ）由時，，時，，證明：時，時，可以逐個驗證；證明時，時，可以用數(shù)學(xué)歸納法證明．

（Ⅰ）由正方形數(shù)的特點可知；

由二項式定理的性質(zhì)，楊輝三角第行個數(shù)的和為，

所以.

（Ⅱ），，所以；

，，所以；

，，所以；

，，所以；

，所以；

猜想：當(dāng)時，；當(dāng)時，.

證明如下：

證法1：

當(dāng)時，已證.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時，.

①當(dāng)時，已證：

②假設(shè)時，猜想成立，即，所以；

那么，，

所以，當(dāng)時，猜想也成立．

根據(jù)①②，可知當(dāng)時，.