【題目】1,4,9,16……這些數(shù)可以用圖1中的點(diǎn)陣表示,古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派將其稱(chēng)為正方形數(shù),記第個(gè)數(shù)為
.在圖2的楊輝三角中,第
行是
展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)
,
,…,
,記楊輝三角的前
行所有數(shù)之和為
.
(1)求和
的通項(xiàng)公式;
(2)當(dāng)時(shí),比較
與
的大小,并加以證明.
【答案】(Ⅰ),
(Ⅱ)
,證明見(jiàn)解析
【解析】
(Ⅰ)由正方形數(shù)的特點(diǎn)知,由二項(xiàng)式定理的性質(zhì),求出楊輝三角形第
行
個(gè)數(shù)的和,由此能求出
和
的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)由時(shí),
,
時(shí),
,證明:
時(shí),
時(shí),可以逐個(gè)驗(yàn)證;證明
時(shí),
時(shí),可以用數(shù)學(xué)歸納法證明.
(Ⅰ)由正方形數(shù)的特點(diǎn)可知;
由二項(xiàng)式定理的性質(zhì),楊輝三角第行
個(gè)數(shù)的和為
,
所以.
(Ⅱ),
,所以
;
,
,所以
;
,
,所以
;
,
,所以
;
,
所以
;
猜想:當(dāng)時(shí),
;當(dāng)
時(shí),
.
證明如下:
證法1:
當(dāng)時(shí),已證.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)時(shí),
.
①當(dāng)時(shí),已證:
②假設(shè)時(shí),猜想成立,即
,所以
;
那么,,
所以,當(dāng)時(shí),猜想也成立.
根據(jù)①②,可知當(dāng)時(shí),
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某課程考核分理論與實(shí)驗(yàn)兩部分進(jìn)行,每部分考核成績(jī)只記“合格”與“不合格”,兩部分考核都是“合格”,則該課程考核“合格”,若甲、乙、丙三人在理論考核中合格的概率分別為0.9,0.8,0.7,在實(shí)驗(yàn)考核中合格的概率分別為0.8,0.7,0.9,所有考核是否合格相互之間沒(méi)有影響.
(1)求甲、乙、丙三人在理論考核中至少有兩人合格的概率;
(2)求這三個(gè)人該課程考核都合格的概率(結(jié)果保留三位小數(shù)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列的前
項(xiàng)和為
,且
和
滿(mǎn)足:
.
(1)求的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),求
的前
項(xiàng)和
;
(3)在(2)的條件下,對(duì)任意,
都成立,求整數(shù)
的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某學(xué)校為了加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng),鍛煉學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)的能力,他們以教材第97頁(yè)B組第3題的函數(shù)為基本素材,研究該函數(shù)的相關(guān)性質(zhì),取得部分研究成果如下:
①同學(xué)甲發(fā)現(xiàn):函數(shù)是偶函數(shù);
②同學(xué)乙發(fā)現(xiàn):對(duì)于任意的都有
;
③同學(xué)丙發(fā)現(xiàn):對(duì)于任意的,都有
;
④同學(xué)丁發(fā)現(xiàn):對(duì)于函數(shù)定義域中任意的兩個(gè)不同實(shí)數(shù)
,總滿(mǎn)足
.
其中所有正確研究成果的序號(hào)是__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩支籃球隊(duì)賽季總決賽采用7場(chǎng)4勝制,每場(chǎng)必須分出勝負(fù),場(chǎng)與場(chǎng)之間互不影響,只要有一隊(duì)獲勝4場(chǎng)就結(jié)束比賽.現(xiàn)已比賽了4場(chǎng),且甲籃球隊(duì)勝3場(chǎng).已知甲球隊(duì)第5,6場(chǎng)獲勝的概率均為,但由于體力原因,第7場(chǎng)獲勝的概率為
.
(1)求甲隊(duì)分別以,
獲勝的概率;
(2)設(shè)表示決出冠軍時(shí)比賽的場(chǎng)數(shù),求
的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上,在小艇出發(fā)時(shí),輪船位于港口的O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處,并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛.假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛,經(jīng)過(guò)t小時(shí)與輪船相遇.
(I)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小,則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少?
(II)為保證小艇在30分鐘內(nèi)(含30分鐘)能與輪船相遇,試確定小艇航行速度的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(題文)如圖所示的某種容器的體積為,它是由圓錐和圓柱兩部分連接而成,圓柱與圓錐的底面半徑都為
.圓錐的高為
,母線與底面所成的角為
;圓柱的高為
,已知圓柱底面的造價(jià)為
元
,圓柱側(cè)面造價(jià)為
元
,圓錐側(cè)面造價(jià)為
元
.
(1)將圓柱的高表示為底面半徑
的函數(shù),并求出定義域;
(2)當(dāng)容器造價(jià)最低時(shí),圓柱的底面半徑為多少?
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