Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線的普通方程以及直線的直角坐標(biāo)方程；

（2）將曲線向左平移2個(gè)單位，再將曲線上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，得到曲線，求曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；； （2）.

【解析】

（1）曲線的參數(shù)方程化簡(jiǎn)消參后得到普通方程，利用，對(duì)直線的極坐標(biāo)方程進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到的直角坐標(biāo)方程；

（2）根據(jù)變換規(guī)則，得到變換后的曲線的方程，寫(xiě)出其參數(shù)方程，從而得到曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合正弦型函數(shù)的值域，得到最小值.

（1）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）

所以，兩式平方后相加得，

即曲線的普通方程為：.

直線的極坐標(biāo)方程為，

即

，

因?yàn)?/span>，

所以直線的直角坐標(biāo)方程為：

（2）曲線：向左平移2個(gè)單位，

得到，

再將曲線上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的

得到，

即曲線；

所以曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù))，

設(shè)曲線上任一點(diǎn)，

則點(diǎn)到直線的距離為：

則(其中)，

當(dāng)時(shí)，取最小值，為

所以點(diǎn)到直線的距離的最小值為.