Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）證明：只有一個零點．

Answer 1

【答案】解：

（1）當a=3時，f（x）=，f ′（x）=．

令f ′（x）=0解得x=或x=．

當x∈（–∞，）∪（，+∞）時，f ′（x）>0；

當x∈（，）時，f ′（x）<0．

故f（x）在（–∞，），（，+∞）單調(diào)遞增，在（，）單調(diào)遞減．

（2）由于，所以等價于．

設(shè)=，則g ′（x）=≥0，僅當x=0時g ′（x）=0，所以g（x）在（–∞，+∞）單調(diào)遞增．故g（x）至多有一個零點，從而f（x）至多有一個零點．

又f（3a–1）=，f（3a+1）=，故f（x）有一個零點．

綜上，f（x）只有一個零點．

【解析】分析：（1）將代入，求導(dǎo)得，令求得增區(qū)間，令求得減區(qū)間；（2）令，即，則將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)只有一個零點問題，研究函數(shù)單調(diào)性可得.

詳解：（1）當a=3時，f（x）=，f ′（x）=．

令f ′（x）=0解得x=或x=．

當x∈（–∞，）∪（，+∞）時，f ′（x）>0；

當x∈（，）時，f ′（x）<0．

故f（x）在（–∞，），（，+∞）單調(diào)遞增，在（，）單調(diào)遞減．

（2）由于，所以等價于．

設(shè)=，則g ′（x）=≥0，僅當x=0時g ′（x）=0，所以g（x）在（–∞，+∞）單調(diào)遞增．故g（x）至多有一個零點，從而f（x）至多有一個零點．

又f（3a–1）=，f（3a+1）=，故f（x）有一個零點．

綜上，f（x）只有一個零點．