Question

（2012•鐘祥市模擬）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，AC∩BD=O．
（I）若平面PAC⊥平面ABCD，求證：PB=PD；
（II）若∠DAB=60°，PA=PC，PB=PD，AB=2，PO=1，求直線AB與平面PAD所成角的正弦值；
（III）在棱PC上是否存在點(diǎn)M（異于點(diǎn)C），使得BM∥平面PAD．若存在，求出

PM

PC

的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（I）平面PAC⊥平面ABCD，AC⊥BD，根據(jù)平面和平面垂直的性質(zhì)定理，得出BD⊥面PAC，BD⊥PO，又BO=DO，故PB=PD．
（II）設(shè)點(diǎn)B到平面PAD距離為d，AB與平面PAD所成角為α，則sinα=

d

AB

，利用體積相等法求出d后即得結(jié)果．
（III）不存在滿足題中條件的點(diǎn)M，用反證法證明．

解答：（I）證明：底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD
∵面PAC⊥面ABCD，面PAC∩面ABCD=AC，BD?面ABCD
∴BD⊥面PAC，∵PO?面PAC，∴BD⊥PO
∵底面ABCD是菱形，∴BO=DO，故PB=PD…..（3分）
（II）解：設(shè)點(diǎn)B到平面PAD距離為d，AB與平面PAD所成角為α，則sinα=

d

AB

∵PA=PC，AO=OC，∴PO⊥BD
∵AC∩BD=O，∴PO⊥面ABCD
∵∠DAB=60°，AB=2，∴AO=OC=

3

，OB=OD=1，又PO=1
∴PA=2，PD=

2

，S△PAD=

1

2

×

2

×

22-( 2 2 )2

=

7

2

，S△ABD=

3

4

×22=

3

由于V_B-PAD=V_P-ABD，
∴

1

3

S△ABD•d=

1

3

S△ABD•PO
即

7

2

d=

3

×1∴d=

2 3

7

=

2 21

7

，
sinα=

2 21 7

2

=

21

7

，故直線AB與平面AD所成角的正弦值為

21

7

…..（8分）
（III）解：不存在滿足題中條件的點(diǎn)M，下面用反證法證明．
假設(shè)在棱PC上存在點(diǎn)M（異于點(diǎn)C）
使得BM∥平面PAD
又菱形ABCD中BC∥AD，∵AD?面PAD，BD?面PAD
∴BC∥面PAD
∵BM?面PBC，BC?面PBC，BC∩BM=B
∴面PBC∥面PAD，而平面PBC與平面PAD相交矛盾，
故不存在這樣的點(diǎn)…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面于平面垂直關(guān)系的判定與應(yīng)用，直線與平面所成的角的概念與計(jì)算，考查空間想象能力、推理論證、計(jì)算能力．