Question

已知數(shù)列a₀，a₁，a₂，…，a_n，…滿足關(guān)系式（3-a_n+1）（6+a_n）=18，且a₀=3，則

n

i=0

1

ai

的值是

1

3

（2ⁿ⁺²-n-3）

．

Answer 1

分析：由已知可得

1

an+1

=

2

an

+

1

3

，令b_n=

1

an

+

1

3

，則可構(gòu)造等比數(shù)列{b_n}，可求b_n，進(jìn)而可求

1

an

，利用等比數(shù)列的求和公式可求

解答：解：

1

an+1

=

2

an

+

1

3

，
令b_n=

1

an

+

1

3

，得b₀=

2

3

，b_n=2b_n-1，
∴b_n=

2

3

×2ⁿ．
即

1

an

=

2n+1-1

3

，

∴

n

i-0

1

ai

=

1

3

(22+23+…+2n+1)-

1

3

×n
=

1

3

×

4(1-2n)

1-2

-

n

3

=

1

3

（2ⁿ⁺²-n-4）

點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列求解數(shù)列的通項公式，及等比數(shù)列的求和公式的應(yīng)用