Question

已知實數(shù)a＞0，函數(shù)f（x）=ax（x-2）²（x∈R）有極大值32．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）先將函數(shù)f（x）展開，然后對函數(shù)f（x）進行求導，令導函數(shù)等于0求x的值，再由函數(shù)的單調(diào)性進行驗證從而最終確定答案．
（2）根據(jù)導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減可求單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（1）∵f（x）=ax（x-2）²=ax³-4ax²+4ax，
∴f′（x）=3ax²-8ax+4a．
由f′（x）=0，得3ax²-8ax+4a=0．
∵a≠0，∴3x²-8x+4=0．
解得x=2或x=

2

3

．
∵a＞0，∴x＜

2

3

或x＞2時，f′（x）＞0；

2

3

＜x＜2時，f′（x）＜0．
∴當x=

2

3

時，f（x）有極大值32，即

8

27

a-

16

9

a+a=32，∴a=27．
（2）∵x＜

2

3

或x＞2時，f′（x）＞0，∴函數(shù)f（x）單調(diào)遞增
當

2

3

＜x＜2時，f′（x）＜0，∴函數(shù)f（x）單調(diào)遞減
f（x）在（-∞，

2

3

）和（2，+∞）上是增函數(shù)，在（

2

3

，2）上是減函數(shù)．

點評：本題主要考查函數(shù)的極值、單調(diào)性與其導函數(shù)之間的關(guān)系．屬基礎(chǔ)題．