Question

已知常數(shù)，向量，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)以為方向向量的直線與經(jīng)過(guò)定點(diǎn)以為方向向量的直線相交于，其中，
（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若，過(guò)的直線交曲線于兩點(diǎn)，求的取值范圍。

Answer 1

（I）；（II）

試題分析：（I）利用向量共線定理和坐標(biāo)運(yùn)算即可得出；
（II）對(duì)直線的斜率分類討論，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為y=kx+1與雙曲線的方程聯(lián)立，即可得到根與系數(shù)的關(guān)系，再利用向量的數(shù)量積和對(duì)k分類討論即可得出．
試題解析：（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則
，
又，，
，
又因?yàn)橄蛄?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824041254812391.png" style="vertical-align:middle;" />與向量平行，所以
向量與向量平行，所以，兩式聯(lián)立消去得的軌跡方程為，即。
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824041254594532.png" style="vertical-align:middle;" />，所以的軌跡的方程為，
此時(shí)點(diǎn)為雙曲線的焦點(diǎn)。
（I）若直線的斜率不存在，其方程為，
與雙曲線的兩焦點(diǎn)為，
此時(shí)
（II）若直線的斜率存在，設(shè)其方程為，
由，設(shè)交點(diǎn)為
，則，

當(dāng)時(shí)，，；
當(dāng)或時(shí)，，；
綜上可知，的取值范圍是。