Question

（2012•虹口區(qū)二模）已知：曲線C上任意一點到點F

1，0

的距離與到直線x=-1的距離相等．
（1）求曲線C的方程；
（2）過點F

1，0

作直線交曲線C于M，N兩點，若|MN|長為

16

3

，求直線MN的方程；
（3）設O為坐標原點，如果直線y=k（x-1）交曲線C于A、B兩點，是否存在實數(shù)k，使得

OA

•

OB

=0？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據曲線C上任意一點到點F

1，0

的距離與到直線x=-1的距離相等，可知曲線為拋物線，焦點在x軸上，且p=2，從而可得曲線C的方程；
（2）當直線MN的斜率不存在時，不合題意；當直線MN的斜率存在時，設MN：y=k（x-1），代入y²=4x，利用|MN|長為

16

3

，建立方程，即可求得直線MN的方程；
（3）將y=k（x-1），代入y²=4x，得k²x²-2（k²+2）x+k²=0，驗證x₁x₂+y₁y₂=-3≠0，故不存在滿足條件的k．

解答：解：（1）∵曲線C上任意一點到點F

1，0

的距離與到直線x=-1的距離相等
∴曲線為拋物線，焦點在x軸上，且p=2
∴曲線C的方程為y²=4x…（4分）
（2）當直線MN的斜率不存在時，不合題意．…（5分）
當直線MN的斜率存在時，設MN：y=k（x-1），代入y²=4x，得k²x²-2（k²+2）x+k²=0…（7分）
記M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），∴x₁x₂=1，x1+x2=

2(k2+2)

k2

，
∵|MN|長為

16

3

，
∴

16

3

=

1+k2

•

[ 2(k2+2) k2 ]2-4

，
解得k=±

3

…（10分）
∴直線MN：y=±

3

(x-1)…（11分）
（3）將y=k（x-1），代入y²=4x，得k²x²-2（k²+2）x+k²=0
記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴x₁x₂=1，x1+x2=

2(k2+2)

k2

，…（13分）∴y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=-4…（15分）
∴x₁x₂+y₁y₂=-3≠0，
∴

OA

•

OB

≠0，∴不存在滿足條件的k．…（18分）

點評：本題考查拋物線的定義，考查曲線的方程，考查直線與拋物線的位置關系，解題的關鍵是直線與拋物線聯(lián)立，利用韋達定理進行解題．