Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，，，F分別在線段BC和AD上，，將矩形ABEF沿EF折起記折起后的矩形為MNEF，且平面平面ECDF．

Ⅰ求證：平面MFD；

Ⅱ若，求證：；

Ⅲ求四面體NFEC體積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）

【解析】

試題分析：（1）證明：因為四邊形MNEF，EFDC都是矩形，所以MN∥EF∥CD，MN=EF=CD．

所以四邊形MNCD是平行四邊形，所以NC∥MD，因為NC平面MFD，所以NC∥平面MFD． 4分

（2）證明：連接ED，設(shè)ED∩FC=O．因為平面MNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，所以NE⊥平面ECDF， 5分

所以FC⊥NE．又EC=CD，所以四邊形ECDF為正方形，所以 FC⊥ED．所以FC⊥平面NED，

所以ND⊥FC． 8分

（3）解：設(shè)NE=，則EC=4-，其中0＜x＜4．由（1）得NE⊥平面FEC，所以四面體NFEC的體積為，所以.

當且僅當，即x=2時，四面體NFEC的體積有最大值2．