Question

已知a∈R，曲線(xiàn)．
（1）若曲線(xiàn)C₁表示圓，求a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=2時(shí)，求C₁所表示曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)2y+1=0的對(duì)稱(chēng)曲線(xiàn)C₂的方程；
（3）在第2題條件下，是否存在整數(shù)m，使得曲線(xiàn)C₁與曲線(xiàn)C₂上均恰有兩點(diǎn)到直線(xiàn)0≤x≤1時(shí)，的距離等于1，若存在，求出m值，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1），即
當(dāng)時(shí)C₁表示圓，此時(shí)a²+4a+4＞0，∴a≠-2…（3分）
（2）a=2時(shí)，C₁：（x-1）²+（y+2）²=4，圓心（1，-2）
圓心C₁（1，-2）關(guān)于直線(xiàn)2y+1=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C₂（1，1）
圓…（6分）
（3）設(shè)C₁（1，-2）到直線(xiàn)2x+y+m=0的距離為d₁，設(shè)C₂（1，1）到直線(xiàn)2x+y+m=0的距離為d₂，則
∵d₁∈（1，3），∴，∴，∴…（9分），
∵d₂∈（1，3），∴，
∴，∴…（12分）
∴，
又m為整數(shù)，∴m=-6或3．…（14分）
所以，存在整數(shù)m=-6或3，使得曲線(xiàn)C₁與曲線(xiàn)C₂上均恰有兩點(diǎn)到直線(xiàn)2x+y+m=0的距離等于1 …（15分）
分析：（1）化圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，利用半徑大于0，可求a的取值范圍；
（2）確定圓心C₁（1，-2）關(guān)于直線(xiàn)2y+1=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C₂（1，1），即可得到C₂的方程；
（3）設(shè)C₁（1，-2）到直線(xiàn)2x+y+m=0的距離為d₁，設(shè)C₂（1，1）到直線(xiàn)2x+y+m=0的距離為d₂，則根據(jù)d₁∈（1，3），d₂∈（1，3），結(jié)合m為整數(shù)，可得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查圓的對(duì)稱(chēng)性，考查圓心到直線(xiàn)距離公式的運(yùn)用，屬于中檔題．