Question

（2012•黃山模擬）函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若對(duì)于定義域內(nèi)任意x₁、x₂（x₁≠x₂），有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=f′(

x1+x2

2

)恒成立，則稱f（x）為恒均變函數(shù)．給出下列函數(shù)：
①f（x）=2x+3；
②f（x）=x²-2x+3；
③f（x）=

1

x

；
④f（x）=e^x；
⑤f（x）=lnx．
其中為恒均變函數(shù)的序號(hào)是

①②

．（寫出所有滿足條件的函數(shù)的序號(hào)）

Answer 1

分析：對(duì)于所給的每一個(gè)函數(shù)，分別計(jì)算

f(x1)-f(x2)

x1-x2

和f′(

x1+x2

2

)的值，檢驗(yàn)二者是否相等，從而根據(jù)恒均變函數(shù)”的定義，做出判斷．

解答：解：對(duì)于①f（x）=2x+3，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=

2x1-2x2

x1-x2

=2，f′(

x1+x2

2

)=2，滿足

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=f′(

x1+x2

2

)，為恒均變函數(shù)．
對(duì)于②f（x）=x²-2x+3，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=

(x12-2x1)-(x22-2x2)

x1-x2

=

(x1-x2)(x1+x2-2)

x1-x2

=x₁+x₂-2
f′(

x1+x2

2

)=2•

x1 +x2

2

-2=x₁+x₂-2，故滿足

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=f′(

x1+x2

2

)，為恒均變函數(shù)．
對(duì)于；③f(x)=

1

x

，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=

1 x1 -  1 x2

x1-x2

=

-1

x1x2

，f′(

x1+x2

2

)=-

1

( x1 +x2 2 )2

=

4

(x1+x2)2

，
顯然不滿足

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=f′(

x1+x2

2

)，故不是恒均變函數(shù)．
對(duì)于④f（x）=e^x ，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=

ex1- ex2

x1-x2

，f′(

x1+x2

2

)=e

x1+x2

2

，顯然不滿足

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=f′(

x1+x2

2

)，故不是恒均變函數(shù)．
對(duì)于⑤f（x）=lnx，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=

lnx1-lnx2

x1-x2

=

ln x1 x2

x1-x2

，f′(

x1+x2

2

)=

2

x1+x2

，
顯然不滿足

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=f′(

x1+x2

2

)，故不是恒均變函數(shù)．
故答案為 ①②．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，“恒均變函數(shù)”的定義，判斷命題的真假，屬于基礎(chǔ)題．