Question

已知定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x-4）=-f（x）且在區(qū)間[0，4]上是增函數(shù)則（　　）

A．f（15）＜f（0）＜f（-5）

B．f（0）＜f（15）＜f（-5）

C．f（-5）＜f（15）＜f（0）

D．f（-5）＜f（0）＜f（15）

Answer 1

分析：根據(jù)f（x-4）=-f（x），可以確定函數(shù)f（x）的周期為8，再利用周期8和偶函數(shù)兩個條件，將f（15）和f（-5）轉(zhuǎn)化為f（1）和f（3），利用函數(shù)f（x）在[0，4]上是增函數(shù)，即可得到f（0），f（1），f（3）的大小關(guān)系，從而得到f（0），f（15），f（-5）的大小關(guān)系．

解答：解：∵f（x-4）=-f（x），
即f（x）=-f（x-4），
∴f（x+4）=-f（x），
∴f（x+8）=-f（x+4）=f（x），
∴f（x）是周期函數(shù)，且周期為8，
∴f（15）=f（15-2×8）=f（-1），
f（-5）=f（-5+8）=f（3），
∵f（x）為R上的偶函數(shù)，
∴f（-1）=f（1），
∵f（x）在區(qū)間[0，4]上是增函數(shù)，
∴f（0）＜f（1）＜f（3），
∴f（0）＜f（15）＜f（-5）．
故選：B．

點評：本題考查了抽象函數(shù)及其應用，函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．奇偶性的判斷一般應用奇偶性的定義和圖象，要注意先考慮函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱．函數(shù)單調(diào)性的證明一般選用定義法證明，證明的步驟是：設值，作差，化簡，定號，下結(jié)論．解決抽象函數(shù)的函數(shù)值的問題一般會利用賦值法求解，本題屬于函數(shù)知識的綜合應用．屬于中檔題．