Question

如圖，在△ABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊AC上，且AN=2NC，AM與BN相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P分有向線段

AM

所成的比為

 

．

Answer 1

分析：設(shè)

BM

=

a

，

CN

=

b

，求出

AM

 和

BN

 的解析式，由三點(diǎn)共線得

AP

=λ 

AM

，

BP

=μ

BN

，進(jìn)而求出

BA

 的解析式，又 

BA

=

BC

+

CA

=2

a

+3

b

，比較系數(shù)，建立關(guān)于λ、μ的方程，解方程求λ、μ的值，結(jié)果可得．

解答：解：如圖：設(shè)

BM

=

a

，

CN

=

b

，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊AC上，且AN=2NC，
則

AM

=

AC

+

CM

=-3

b

-

a

，

BN

=

BC

+

CN

=2

a

+

b

，
∵A、P、M共線，B、N、P 共線，∴存在λ、μ使

AP

=λ 

AM

=-λ

a

-3λ

b

，

BP

=μ

BN

=2μ

a

+μ

b

，
∴

BA

=

BP

-

AP

=（2μ+λ）

a

+（μ+3λ）

b

，
又 

BA

=

BC

+

CA

=2

a

+3

b

，∴

λ+2μ=2 3λ+μ=3

，
∴

λ= 4 5 μ= 3 5

，∴

AP

=

4

5

 

AM

，∴

AP

：

PM

=4，
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，三點(diǎn)共線的性質(zhì)以及定比分點(diǎn)的定義．