Question

已知α∈（

π

2

，π），向量

a

=(sin

α

2

，1)，

b

=(1，cos

α

2

)，且

a

•

b

=

2 3

3

（1）求cosα的值；
（2）若sin（α+β）=-

3

5

，β∈（0，

π

2

），求sinβ的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數(shù)量積、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系、倍角公式即可得出；
（2）利用平方關(guān)系、兩角和的正弦關(guān)系即可得出．

解答：解：（1）∵

a

•

b

=

2 3

3

，∴sin

α

2

+cos

α

2

=

2 3

3

，
兩邊平方得1+2sin

α

2

cos

α

2

=

4

3

，∴sinα=

1

3

．
∵α∈（

π

2

，π），∴cosα=-

1-sin2α

=-

2 2

3

．
（2）∵α∈（

π

2

，π），β∈（0，

π

2

），
∴(α+β)∈(

π

2

，

3π

2

)．
∵sin（α+β）=-

3

5

，
∴cos（α+β）=-

1-sin2(α+β)

=-

4

5

．
∴sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα
=(-

3

5

)•(-

2 2

3

)-(-

4

5

)•

1

3

=

6 2 +4

15

．

點評：熟練掌握向量的數(shù)量積、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系、倍角公式、兩角和的正弦關(guān)系等是解題的關(guān)鍵．