Question

已知函數f（x）=x²-2ax-3a²，（a＞

1

4

）
（1）若a=1，求函數f（x）的值域；
（2）若對于任意x∈[1，4a]時，-4a≤f（x）≤4a恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把二次函數f（x）的解析式配方，利用配方法求函數的值域．
（2）函數f（x）的對稱軸為 x=a，分a≥1時和1＞a＞

1

4

兩種情況求出函數f（x）在區(qū)間[1，4a]上的值域，由-4a≤f（x）≤4a恒成立可得，f（x）的最小值大于或等于-4a，最大值小于或等于4a，解不等式組求得實數a的取值范圍．

解答：解：（1）∵a=1，
∴函數f（x）=x²-2ax-3a²=x²-2x-3=（x-1）²-4≥-4，
故函數的值域為[-4，+∞）．
（2）函數f（x）=x²-2ax-3a²=（x-a）²-4a²，對稱軸為 x=a．
當a≥1時，在區(qū)間[1，4a]上，函數f（x）最小值為-4a²，最大值為5a²，由題意得
-4a²≥-4a 且 5a²≤4a，顯然 a無解．
當1＞a＞

1

4

時，函數f（x）在[1，4a]上是增函數，最小值為1-2a-3a²，最大值為 5a²，
由題意得1-2a-3a²≥-4a  且 5a²≤4a．  解得 

1

4

a≤

4

5

，故實數a的取值范圍為 (

1

4

，

4

5

]．

點評：本題考查求二次函數在閉區(qū)間上的值域，函數的恒成立問題，體現(xiàn)了分類討論的數學思想，求函數f（x）在區(qū)間[1，4a]上的值域是解題的難點．