Question

設(shè)直線(xiàn)l₁和l₂相交于點(diǎn)R，l₁⊥l₂，M、N∈l₁，|MN|=4，M分

RN

所成比為

5

4

，記到點(diǎn)N的距離比它到直線(xiàn)l₂的距離小1的點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn)C，在曲線(xiàn)C上取點(diǎn)A₁，B₁，A₂
B₂，p₁、p₂分別是A₁B₁和A₂B₂的中點(diǎn)，且A₁B₁⊥A₂B₂．
（1）求曲線(xiàn)C的方程；
（2）求點(diǎn)p₁和p₂到直線(xiàn)l₁距離的乘積．

Answer 1

分析：（1）先以l₁為x軸，過(guò)M且垂直于l₁的直線(xiàn)為y的軸，建立直角坐標(biāo)系根據(jù)題意可求得曲線(xiàn)的方程．
（2）由（1）可設(shè)A₁，B₁，A₂，B₂的坐標(biāo)，即研究A₁B₁和A₂B₂的中點(diǎn)縱坐標(biāo)絕對(duì)值之積．

解答：解：（1）以l₁為x軸，過(guò)M且垂直于l₁的直線(xiàn)為y的軸，
建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn)，此時(shí)，
點(diǎn)N的坐標(biāo)為（4，0），直線(xiàn)l₂的方程為x+5=0．
由題意可知．曲線(xiàn)方程是y²=16x．

（2）設(shè)A₁，B₁，A₂，B₂的坐標(biāo)依次為：
（

y12

16

，y₁），（

y22

16

，y2），（

y32

16

，y3），（

y43

16

，y4）．
若y₁²=y₂²，由于A(yíng)₁，B₁是不同點(diǎn)，
∴y₁=-y₂≠0，
∴AB⊥x軸，從而A₂B₂∥x軸．
由于平行于x軸的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只能有一個(gè)交點(diǎn)矛盾，
∴y₁²≠y₂²，
同理y₃²≠y₄²，
A₁B₁斜率為

16

y1+y2

，
A₂B₂的斜率為

16

y3 +y4

．
由于A(yíng)₁B₁⊥A₂B₂
得（y₁+y₂）（y₃+y₄）=-16²．
因P₁，P₂的縱坐標(biāo)分別為

y1+ y2

2

，

y3+y4

2

，
∴它們的乘積為（

y1+ y2

2

）（

y3+y4

2

）=-64，
點(diǎn)P₁和P₂到直線(xiàn)l₁的距離的乘積為64．

點(diǎn)評(píng)：本師主要考查直角坐標(biāo)系的建立及曲線(xiàn)方程的求法和應(yīng)用．