Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C₁：（x+3）²+（y-1）²=4和圓C₂：（x-4）²+（y-5）²=4．
（1）若直線l過點(diǎn)A（4，0），且被圓C₁截得的弦長(zhǎng)為2

3

，求直線l的方程；
（2）設(shè)P為平面上的點(diǎn)，滿足：存在過點(diǎn)P的無窮多對(duì)互相垂直的直線l₁和l₂，它們分別與圓C₁和圓C₂相交，且直線l₁被圓C₁截得的弦長(zhǎng)與直線l₂被圓C₂截得的弦長(zhǎng)相等，試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）直線l過點(diǎn)A（4，0），故可以設(shè)出直線l的點(diǎn)斜式方程，又由直線被圓C₁截得的弦長(zhǎng)為2

3

，根據(jù)半弦長(zhǎng)、半徑、弦心距滿足勾股定理，求出弦心距，即圓心到直線的距離，得到一個(gè)關(guān)于直線斜率k的方程，解方程求出k值，可求直線l的方程．
（2）與（1）相同，設(shè)出過P點(diǎn)的直線l₁與l₂的點(diǎn)斜式方程，由于兩直線斜率為1，且直線l₁被圓C₁截得的弦長(zhǎng)與直線l₂被圓C₂截得的弦長(zhǎng)相等，得到一個(gè)關(guān)于直線斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直線l₁與l₂的方程．

解答：解：（1）由于直線x=4與圓C₁不相交；
∴直線l的斜率存在，設(shè)l方程為：y=k（x-4）（1分）
圓C₁的圓心到直線l的距離為d，∵l被⊙C₁截得的弦長(zhǎng)為2

3

∴d=

22-( 3 )2

=1（2分）
d=

|1-k(-3-4)|

1+k2

從而k（24k+7）=0即k=0或k=-

7

24

∴直線l的方程為：y=0或7x+24y-28=0（5分）
（2）設(shè)點(diǎn)P（a，b）滿足條件，不妨設(shè)直線l₁的方程為y-b=k（x-a），k≠0
則直線l₂方程為：y-b=-

1

k

（x-a）（6分）
∵⊙C₁和⊙C₂的半徑相等，及直線l₁被圓C₁截得的弦長(zhǎng)與直線l₂被圓C₂截得的弦長(zhǎng)相等，
∴⊙C₁的圓心到直線l₁的距離和圓C₂的圓心到直線l₂的距離相等
即

|1-k(-3-a)-b|

1+k2

=

|5+ 1 k (4-a)-b|

1+ 1 k2

（8分）
整理得|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|
∴1+3k+ak-b=±（5k+4-a-bk）即（a+b-2）k=b-a+3或（a-b+8）k=a+b-5
因k的取值有無窮多個(gè)，所以

a+b-2=0  b-a+3=0

或

a-b+8=0 a+b-5=0

（10分）
解得

a= 5 2 b=- 1 2

或

a=- 3 2 b= 13 2

這樣的點(diǎn)只可能是點(diǎn)P₁（

5

2

，-

1

2

）或點(diǎn)P₂（-

3

2

，

13

2

）
經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)P₁和P₂滿足題目條件（12分）

點(diǎn)評(píng)：在解決與圓相關(guān)的弦長(zhǎng)問題時(shí)，一般有三種方法：一是直接求出直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式得出；二是不求交點(diǎn)坐標(biāo)，用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出，即設(shè)直線的斜率為k，直線與圓聯(lián)立消去y后得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程再利用弦長(zhǎng)公式求解，三是利用圓中半弦長(zhǎng)、弦心距及半徑構(gòu)成的直角三角形來求．對(duì)于圓中的弦長(zhǎng)問題，一般利用第三種方法比較簡(jiǎn)捷．本題所用方法就是第三種方法．