Question

已知：矩形AEFD的兩條對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)M（2，0），AE邊所在直線(xiàn)的方程為：x-3y-6=0，點(diǎn)T（-1，1）在AD邊所在直線(xiàn)上．
（1）求矩形AEFD外接圓P的方程．
（2）△ABC是⊙P的內(nèi)接三角形，其重心G的坐標(biāo)是（1，1），求直線(xiàn)BC的方程．

Answer 1

分析：（1）由矩形的性質(zhì)得到直線(xiàn)AD與直線(xiàn)AB垂直，因?yàn)閮芍本�(xiàn)垂直時(shí)斜率的乘積為-1，所以由直線(xiàn)AB的斜率得到直線(xiàn)AD的斜率，又直線(xiàn)AD過(guò)點(diǎn)N，由N的坐標(biāo)和求出的直線(xiàn)AD的斜率寫(xiě)出直線(xiàn)AD的方程，與直線(xiàn)AB的方程聯(lián)立即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式求出|AM|的長(zhǎng)即為矩形外接圓的半徑，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到矩形外接圓的圓心即為點(diǎn)M，根據(jù)圓心和半徑寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可．
（2）連AG延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)N（x₀，y₀），則N點(diǎn)是BC中點(diǎn)，連MN，由G是△ABC的重心，可知

AG

=2

GN

，從而（1，3）=2（x₀-1，y₀-1），即

x0= 3 2 y0= 5 2

，又M是圓心，N是BC中點(diǎn)，∴MN⊥BC，且 K_MN=-5，從而KBC=

1

5

，故可求直線(xiàn)BC的方程．

解答：解：（1）設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）
∵KAE=

1

3

且 AE⊥AD，∴K_AD=-3又T（-1，1）在AD上，∴

x-3y-6=0 y-1 x+1 =-3

，∴

x=0 y=-2

即A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-2）
又∵M(jìn)點(diǎn)是矩形AEFD兩條對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，∴M點(diǎn)（2，0）即為矩形AEFD外接圓的圓心，其半徑r=|MA|=2

2

∴⊙P的方程為（x-2）²+y²=8
（2）連AG延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)N（x₀，y₀），則N點(diǎn)是BC中點(diǎn)，連MN
∵G是△ABC的重心，∴

AG

=2

GN

，∴（1，3）=2（x₀-1，y₀-1），∴

x0= 3 2 y0= 5 2

∵M(jìn)是圓心，N是BC中點(diǎn)，∴MN⊥BC，且 K_MN=-5，∴KBC=

1

5

，∴y-

5

2

=

1

5

(x-

3

2

)即直線(xiàn)BC的方程為x-5y+11=0

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握矩形的性質(zhì)及兩直線(xiàn)垂直時(shí)斜率的關(guān)系，靈活運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式化簡(jiǎn)求值，會(huì)根據(jù)圓心和半徑寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，是一道中檔題．