Question

已知斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，A₁C₁=B₁C₁=2，D、D₁分別是AB、A₁B₁的中點，平面A₁ABB₁⊥平面A₁B₁C₁，異面直線AB₁和C₁B互相垂直.
(1)求證: AB₁⊥C₁D₁；
(2)求證: AB₁⊥面A₁CD；
(3)若AB₁=3，求直線AC與平面A₁CD所成的角.

Answer 1

(1) 證明略，(2)證明略(3)

 (1)證明: ∵A₁C₁=B₁C₁，D₁是A₁B₁的中點，
∴C₁D₁⊥A₁B₁于D₁，
又∵平面A₁ABB₁⊥平面A₁B₁C₁，
∴C₁D₁⊥平面A₁B₁BA，
而AB₁平面A₁ABB₁，∴AB₁⊥C₁D₁ 
(2)證明:連結(jié)D₁D，
∵D是AB中點，∴DD₁CC₁，∴C₁D₁∥CD，
由(1)得CD⊥AB₁，又∵C₁D₁⊥平面A₁ABB₁，C₁B⊥AB₁，
由三垂線定理得BD₁⊥AB₁，
又∵A₁D∥D₁B，∴AB₁⊥A₁D而CD∩A₁D=D，∴AB₁⊥平面A₁CD 
(3)解 由(2)AB₁⊥平面A₁CD于O，
連結(jié)CO₁得∠ACO為直線AC與平面A₁CD所成的角，
∵AB₁=3，AC=A₁C₁=2，∴AO=1，∴sinOCA=，
∴∠OCA=.