Question

設(shè)三組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃）的回歸直線方程是：

y

=

b

x+

a

，使代數(shù)式[y₁-（

b

x₁+

a

）]²+[y₂-（

b

x₂+

a

）]²+[y₃-（

b

x₃+

a

）]²的值最小時(shí)，

b

=

x1y1+x2y2+x3y3-3 . x • . y

x12+x22-3 . x 2

，

a

=

.

y

-

b

x，
（

.

x

，

.

y

分別是這三組數(shù)據(jù)的橫、縱坐標(biāo)的平均數(shù)）．若有六組數(shù)據(jù)列表如下：

x	2	3	4	5	6	7
y	4	6	5	6.2	8	7.1

（1）求上表中前三組數(shù)據(jù)的回歸直線方程；
（2）若|y_i-（

b

x_i+

a

）|≤0.2，即稱（x_i，y_i）為（1）中回歸直線的擬和“好點(diǎn)”，求后三組數(shù)據(jù)中擬和“好點(diǎn)”的概率．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)表中的樣本數(shù)據(jù)，可以求得

.

x

和

.

y

，利用求b的公式即可求得b的值，再根據(jù)回歸方程必過點(diǎn)（

.

x

，

.

y

），即可求得a的值，從而求得答案；
（2）分別利用|y_i-（

b

x_i+

a

）|對(duì)后三組數(shù)據(jù)進(jìn)行求解，判斷對(duì)不等式是否成立，即可得到擬合“好點(diǎn)”的組數(shù)，從而確定后三組數(shù)據(jù)中擬合“好點(diǎn)”的概率．

解答：解：（1）前三組數(shù)的平均數(shù)為

.

x

=3， 

.

y

=5，
∵

b

=

x1y1+x2y2+x3y3-3 . x • . y

x12+x22-3 . x 2

，
∴

b

=

2×4+3×6+4×5-3×3×5

22+32+42-3×32

=

1

2

，
又∵回歸方程

y

=

b

x+

a

必定過樣本中心即（3，5），
∴5=

1

2

×3+

a

，解得

a

=

7

2

，
∴回歸直線方程是

y

=

1

2

x+

7

2

；
（2）后三組數(shù)據(jù)分別代入|y_i-（

b

x_i+

a

）|中求解可得，
|6.2-3.5-0.5×5|=0.2≤0.2，
|8-3.5-0.5×6|=1.5＞0.2，
|7.1-3.5-0.5×7|=0.1＜0.2，
∵若|y_i-（

b

x_i+

a

）|≤0.2，即稱（x_i，y_i）為（1）中回歸直線的擬和“好點(diǎn)”，
∴擬和“好點(diǎn)”有2組，
∴后三組中擬合“好點(diǎn)”的概率P=

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了回歸方程的求解，求解時(shí)要注意回歸方程必定過樣本數(shù)據(jù)的中心（

.

x

，

.

y

）．本題還考查了新定義問題，即給出一個(gè)新概念，利用題中所給的概念進(jìn)行解題，關(guān)鍵是正確理解新定義的含義．考查了古典概型的求解，較有新意的一題．屬于基礎(chǔ)題．