Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）當(dāng)時(shí)，求不等式在上的解；

（2）設(shè)，關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的函數(shù)為，求證：當(dāng)時(shí)，；

（3）若函數(shù)恰好在和兩處取得極值，求證：.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析；

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，對(duì)求導(dǎo)，判斷導(dǎo)函數(shù)在上的正負(fù)號(hào),說(shuō)明函數(shù)在上的單調(diào)性，再利用，即可解出不等式.

（2）根據(jù)題意求出,令,求出說(shuō)明其大于0.則在上單調(diào)遞增，再結(jié)合，即可得證.

（3）根據(jù)題意可知，是函數(shù)的兩個(gè)不同實(shí)根.不妨設(shè),分別根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可得,可得，則，要證即證.化簡(jiǎn)得,令

再根據(jù)函數(shù)，求導(dǎo)說(shuō)明函數(shù)在上是減函數(shù),結(jié)合，即可得證.

（1）當(dāng)時(shí)，，

，，

∴在上單調(diào)遞增，

∴，

∴在上單調(diào)遞增，又，

∴的解集為；

（2），

∵關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的函數(shù)為，

∴

∴

令，

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“＝”，

∵，故上式取不到“＝”，即，

∴在上單調(diào)遞增，

故，即，

∴當(dāng)時(shí)，，

（3）證明：由已知，

由，是函數(shù)的兩個(gè)不同極值點(diǎn)（不妨設(shè)）.

即，是函數(shù)的兩個(gè)不同實(shí)根.

即，

∴，，

兩式相減得：，

于是要證明，即證明，

兩邊同除以，即證，即證，

即證

令

即證不等式當(dāng)時(shí)恒成立.

設(shè)，

∴

而，即，∴，

∴在上是減函數(shù),又

∴恒成立.

則.