Question

【題目】已知數(shù)列，，且對(duì)任意n恒成立．

（1）求證：(n)；

（2）求證：(n)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）利用數(shù)學(xué)歸納法直接證明，假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則當(dāng)時(shí)，，將代入即可證得：當(dāng)時(shí)，成立，問(wèn)題得證。

（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明，先證明時(shí)，成立，假設(shè)當(dāng)時(shí)， 成立，證明：當(dāng)時(shí)，成立，

因?yàn)?/span>，可將證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化成：證明，轉(zhuǎn)化成證明，再轉(zhuǎn)化成證明（）成立。構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可判函數(shù)在上遞增，結(jié)合，即可證得：當(dāng)時(shí)，成立，即可證得：當(dāng)，成立，問(wèn)題得證。

（1）①當(dāng)時(shí)，

滿足成立.

②假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立.即：成立

下證：當(dāng)時(shí)，成立。

因?yàn)?/span>

即：當(dāng)時(shí)，成立

由①、②可知，(n)成立。

（2）（�。┊�(dāng)時(shí)，成立，

當(dāng)時(shí)，成立，

（ⅱ）假設(shè)時(shí)（），結(jié)論正確，即：成立

下證：當(dāng)時(shí)，成立.

因?yàn)?/span>

要證，

只需證

只需證：，

只需證：

即證：（）

記

當(dāng)時(shí)，

所以在上遞增，

又

所以，當(dāng)時(shí)，恒成立。

即：當(dāng)時(shí)，成立。

即：當(dāng)時(shí)，恒成立.

所以當(dāng)，恒成立.

由（�。�（ⅱ）可得：對(duì)任意的正整數(shù)，不等式恒成立，命題得證.