Question

已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)，為其右焦點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在兩點(diǎn)之間），若與的面積相等，試求直線的方程.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）。

【解析】

試題分析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013090213025780648600/SYS201309021303281121609399_DA.files/image003.png">，所以，.  

設(shè)橢圓方程為，又點(diǎn)在橢圓上,所以，

解得，   

所以橢圓方程為.  

（2）易知直線的斜率存在,

設(shè)的方程為，  由消去整理，得

，   

由題意知，

解得. 

設(shè)，，則， ①，. ②.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013090213025780648600/SYS201309021303281121609399_DA.files/image021.png">與的面積相等，

所以，所以. ③ 由①③消去得. ④

將代入②得. ⑤

將④代入⑤，

整理化簡(jiǎn)得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)成立. 

所以直線的方程為.

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)；直線與橢圓的綜合應(yīng)用。

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓方程的求法，以及直線與橢圓的綜合應(yīng)用，為圓錐曲線的常規(guī)題，應(yīng)當(dāng)掌握�？疾榱藢W(xué)生綜合分析問題、解決問題的能力，知識(shí)的遷移能力以及運(yùn)算能力。解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)分析。