Question

求證：函數(shù)f(x)=-

1

x

+1在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．

Answer 1

分析：利用單調(diào)性的定義來證明函數(shù)是一個(gè)單調(diào)函數(shù)，先設(shè)出任意兩個(gè)正數(shù)變量，表明它們的大小關(guān)系，對兩個(gè)變量對應(yīng)的函數(shù)值做差，合并同類項(xiàng)，通分整理，最終形式是變化為因式的積或商的形式，這樣就可以根據(jù)條件判斷差和零的關(guān)系，得到結(jié)論．

解答：證明：任意0＜x₁＜x₂，
∵f(x1)-f(x2)=-

1

x1

+1-(-

1

x2

+1)=

1

x2

-

1

x1

=

x1-x2

x1x2

，
∵0＜x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴

x1-x2

x1x2

＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)單調(diào)性的證明，考查對于代數(shù)式的整理，是一個(gè)基礎(chǔ)題，這種題目經(jīng)�？嫉�，可以作為一個(gè)解答題目的一問出現(xiàn)，這種題目的證法一般只有兩種，一是用定義，二是用導(dǎo)數(shù)．