Question

求證：函數(shù)f(x)=x+

1

x

在區(qū)間 （0，1）上是減函數(shù)，并指出f（x）在區(qū)間（-1，0）上的單調(diào)性（不必證明）．

Answer 1

分析：設(shè) 0＜x₁＜x₂＜1，計算f（x₁ ）-f（x₂）=（x₁-x₂）（1-

1

x1•x2

）＞0，可得f（x₁ ）＞f（x₂），可得函數(shù) f（x）在（0，1）上是減函數(shù)．同理可證，函數(shù)f（x）在（-1，0）上是減函數(shù)．

解答：解：設(shè) 0＜x₁＜x₂＜1，則有f（x₁ ）-f（x₂）=（x₁+

1

x1

）-（x₂+

1

x2

）=（x₁-x₂）+

x2-x1

x1•x2

=（x₁-x₂）（1-

1

x1•x2

）．
由題設(shè)可得 （x₁-x₂）＜0，1-

1

x1•x2

＜0，
∴f（x₁ ）-f（x₂）＞0，即f（x₁ ）＞f（x₂）．
函數(shù) f（x）在（0，1）上是減函數(shù)．
同理可證，函數(shù)f（x）在（-1，0）上是減函數(shù)．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，屬于基礎(chǔ)題．