Question

（2012•瀘州一模）已知函數f(x)=lnx-

1

2

ax2．
（Ⅰ）若函數f（x）在x=1處有極值，求a的值；
（Ⅱ）記函數y=F（x）的圖象為曲線C．設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲線C上的不同兩點．如果在曲線C上存在點M（x₀，y₀），使得：①x0=

x1+x2

2

；②曲線C在點M處的切線平行于直線AB，則稱函數F（x）存在“中值相依切線”．問函數f（x）是否存在“中值相依切線”，請說明理由；
（Ⅲ）求證：[（n+1）!]²＞（n+1）e^2（n-2）（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（I）先求函數的定義域，然后求出導函數，根據f（x）在x=1處取得極值，則f'（1）=0，求出a的值，然后驗證即可；
（II）假設函數f（x）的圖象上存在兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使得AB存在“中值相依切線”，根據斜率公式求出直線AB的斜率，利用導數的幾何意義求出直線AB的斜率，它們相等，再通過構造函數，利用導數研究函數的單調性和最值即可證明結論．
（3）由（2）可得lnx=

2(x-1)

x+1

=2(1-

2

x+1

)＞2(1-

2

x

)，令x=n（n+1），則ln[n(n+1)]＞2[1-

2

n(n+1)

]，寫出n個式子，疊加即可證明結論．

解答：解：（Ⅰ）函數f(x)=lnx-

1

2

ax2的定義域為（0，+∞）．           
求導函數，可得f′（x）=

1

x

-ax
∵f（x）在x=1處取得極值，
即f'（1）=1-a=0，∴a=1．                                                        
當a=1時，在（1，+∞）內f'（x）＜0，在（0，1）內f'（x）＞0，
∴x=1是函數y=f（x）的極大值點，∴a=1．
（Ⅱ）假設函數f（x）存在“中值相依切線”．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲線C上的不同兩點，且0＜x₁＜x₂，
則y₁=lnx₁-

1

2

ax₁²，y₂=lnx₂-

1

2

ax₂²．
∴k_AB=

y2-y1

x2-x1

=

lnx2-lnx1

x2-x1

-

1

2

a(x1+x2)
曲線在點M（x₀，y₀）處的切線斜率k=f'（x₀）=f′(

x1+x2

2

)=

2

x1+x2

-a•

x1+x2

2

依題意得：

lnx2-lnx1

x2-x1

=

2

x1+x2

即ln

x2

x1

=

2(x2-x1)

x2+x1

=

2( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

設

x2

x1

=t（t＞1），上式化為：lnt=

2(t-1)

t+1

=2-

4

t+1

，
即lnt+

4

t+1

=2．…（12分）
令g(t)=lnt+

4

t+1

，g′(t)=

1

t

-

4

(t+1)2

因為t＞1，顯然g'（t）＞0，所以g（t）在（1，+∞）上遞增，
顯然有g（t）＞2恒成立．
所以在（1，+∞）內不存在t，使得lnt+

4

t+1

=2成立．
綜上所述，假設不成立．所以函數f（x）不存在“中值相依切線”．…（14分）
（3）證明：由（2）知lnx=

2(x-1)

x+1

=2(1-

2

x+1

)＞2(1-

2

x

)，
令x=n（n+1），則ln[n(n+1)]＞2[1-

2

n(n+1)

]，
所以ln(1×2)＞2(1-

2

1×2

)，ln(2×3)＞2(1-

2

2×3

)，ln(3×4)＞2(1-

2

3×4

)，…，ln[n(n+1)]＞2[1-

2

n(n+1)

]．
疊加得：ln[1×2²×3²×…×n²×（n+1）]＞2n-4(1-

1

n+1

)＞2n-4+

4

n+1

＞2(n-2)
則1×2²×3²×…×n²×（n+1）＞e^2（n-2），
所以[（n+1）!]²＞（n+1）•e^2（n-2），（n∈N^*）．

點評：本題考查應用導數研究函數的極值最值問題，考查不等式的證明，有關恒成立的問題一般采取分離參數，轉化為求函數的最值問題，體現了轉化的思想方法．