Question

如圖，

已知橢圓E:的離心率為，過(guò)左焦點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)交
橢圓E于A(yíng),B兩點(diǎn)，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M,直線(xiàn)：交橢圓E于C,D兩點(diǎn).
（1）求橢圓E的方程；
（2）求證：點(diǎn)M在直線(xiàn)上；
（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得四邊形AOBC為平行四邊形?若存在求出的值，若不存在說(shuō)明理
由.

Answer 1

（1）；（2）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析；（3）存在.

解析試題分析：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線(xiàn)與橢圓的相交問(wèn)題、韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問(wèn)，利用已知的離心率和左焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到基本量a,b,c的值，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問(wèn)，設(shè)出點(diǎn)A、B、M的坐標(biāo)和直線(xiàn)的方程，令直線(xiàn)的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用所得方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到，從而得到的坐標(biāo)，由直線(xiàn)方程獲得，驗(yàn)證是否在上即可；第三問(wèn)，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)已知條件將題目轉(zhuǎn)化為C點(diǎn)坐標(biāo)與M點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，通過(guò)直線(xiàn)與橢圓聯(lián)立消參，得到的坐標(biāo)，令，解出k的值，k有解，即存在.
試題解析：（1）由題意可知，，于是.
所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.                -3分
（2）設(shè)，，，
即.
所以，，，，
于是.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/15/7/nir02.png" style="vertical-align:middle;" />，所以在直線(xiàn)上.             8分
（3）由（2）知點(diǎn)A到直線(xiàn)CD的距離與點(diǎn)B到直線(xiàn)CD的距離相等，
若∆BDM的面積是∆ACM面積的3倍，
則|DM|=3|CM|，因?yàn)閨OD|=|OC|，于是M為OC中點(diǎn)，；
設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，則.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/a3/d/pvrvh1.png" style="vertical-align:middle;" />，解得.
于是，解得，所以.        14分
考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線(xiàn)與橢圓的相交問(wèn)題、韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式.