Question

已知橢圓的離心率，長軸的左右端點(diǎn)分別為，.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)動直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與直線相交于點(diǎn).
求證：以為直徑的圓過定點(diǎn).

Answer 1

（1）；（2）答案詳見解析.

解析試題分析：（1）由已知，得，再根據(jù)離心率求，進(jìn)而求，進(jìn)而根據(jù)焦點(diǎn)位置求橢圓方程；（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，得關(guān)于的一元二次方程，由題意，列方程得，同時(shí)可求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再求，要證明以為直徑的圓過定點(diǎn)，只需證明即可，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可證明，本題最關(guān)鍵的是要注意點(diǎn)在圓上這個(gè)條件的運(yùn)用．
試題解析：（1）由已知2分
，
橢圓的方程為；4分
（2），消去，得，則，可得，設(shè)切點(diǎn)，則，，故，又由，得，，，
，
以為直徑的圓過定點(diǎn)..14分
考點(diǎn)：１、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、直線和橢圓的位置關(guān)系；3、向量垂直的充要條件．