Question

設(shè)

a

=（1+cos x，1+sin x），

b

=（1，0），

c

=（1，2）．
（1）求證：（

a

-

b

）⊥（

a

-

c

）；
（2）求|

a

|的最大值，并求此時(shí)x的值．φ

Answer 1

分析：（1）由題意可得

a

-

b

和

a

-

c

的坐標(biāo)，計(jì)算其數(shù)量積為0即可；（2）由題意可得|

a

|2的不等式，由三角函數(shù)的值域可得|

a

|2的最大值，開方可得所求．

解答：解：（1）由題意可得

a

-

b

=（cosx，1+sinx），

a

-

c

=（cosx，sinx-1），
∴（

a

-

b

）•（

a

-

c

）=cos²x+sin²x-1=0，
∴（

a

-

b

）⊥（

a

-

c

）
（2）由題意可得|

a

|2=（1+cosx）²+（1+sinx）²
=3+2（sinx+cosx）=3+2

2

sin（x+

π

4

），
由三角函數(shù)的值域可知，當(dāng)x+

π

4

=2kπ+

π

2

，
即x=2kπ+

π

4

（k∈Z）時(shí)，|

a

|2取最大值3+2

2

，
此時(shí)|

a

|取最大值

3+2 2

=

2

+1

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的數(shù)量積與向量的垂直關(guān)系，涉及向量的模長(zhǎng)，屬中檔題．