Question

已知橢圓C的焦點(diǎn)在軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，離心率等于．

    (Ⅰ)求橢圓C的方程。

    (Ⅱ)過橢圓的右焦點(diǎn)F作直線，交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，若，求證為定值．

Answer 1

解：(Ⅰ)設(shè)橢圓C的方程為，則由題意知．

    ∴,即.∴

∴橢圓的方程為．  

   (Ⅱ)方法一：設(shè)、、點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．又易知點(diǎn)的坐標(biāo)為．  

∵  ∴．

∴．

將點(diǎn)坐標(biāo)代到橢圓方程中，得．

去分母整理得．

同理，由可得：．

∴，是方程的兩個(gè)根，

∴． 

方法二：設(shè)、、點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．又易知 點(diǎn)的坐標(biāo)為．

顯然直線，存在斜率，設(shè)直線，的斜率為，則直線的方程是．

將直線的方程代入到橢圓的方程中，消去并整理得

2)．

       ∴，.

       又∵，，將各點(diǎn)坐標(biāo)代入得

           

  ∴．