Question

設(shè){a_n}是等差數(shù)列，從{a₁，a₂，…，a₂₀}中任取3個不同的數(shù)，使這3個數(shù)仍成等差數(shù)列，則這樣不同的等差數(shù)列的個數(shù)最多有

180

個．

Answer 1

分析：設(shè)新數(shù)列的公差為m，當(dāng)確定了m，如果再確定了第一項，則第二和第三項也就確定了，因此只考慮如何選擇第一項．列舉當(dāng)m=d時，a₁₉和a₂₀不能做第一項，能做第一項的有18種結(jié)果，以此類推得到共有的數(shù)列數(shù)，再有把數(shù)列的公差變化為列舉的公差的相反數(shù)，又有90個數(shù)列，相加得到結(jié)果．

解答：解：設(shè)新數(shù)列的公差為m，原來數(shù)列的公差是d，當(dāng)確定了m，如果再確定了第一項，
則第二和第三項也就確定了，因此只考慮如何選擇第一項．
m=d時，a₁₉和a₂₀不能做第一項，能做第一項的有18種結(jié)果，
m=2d，a₁₇至a₂₀不能做第一項，有16種結(jié)果，
m=3d，a₁₅至a₂₀不能做第一項，有14種結(jié)果，
m=4d，a₁₃至a₂₀不能做第一項，有12種結(jié)果，
m=5d，a₁₁至a₂₀不能做第一項，有10種結(jié)果，
以此類推m=9d，a₃至a₂₀不能做第一項，有2種結(jié)果，
當(dāng)m大于9d，則不能選出滿足題意的數(shù)列．
∴總共個數(shù)=2+4+6+8+…+18=90，
當(dāng)數(shù)列的公差與列舉的公差互為相反數(shù)時，又有90個結(jié)果，
∴共有90+90=180
故答案為：180．

點評：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查利用排列組合解決實際問題，考查分類計數(shù)原理的應(yīng)用，本題是一個綜合題目，這種題目分類的情況比較多，是一個易錯題．