Question

已知函數(shù)f（x）=x³+3ax-1，a∈R．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線與直線y=6x+6平行，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)（x）=f′（x）-6，對(duì)滿足-1≤a≤1的一切a的值，都有g(shù)（x）＜0成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)a≤0時(shí)，請(qǐng)問：是否存在整數(shù)a的值，使方程a有且只有一個(gè)實(shí)根？若存在，求出整數(shù)a的值；否則，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線與直線y=6x+6平行，可得f'（1）=6，從而可求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)h（a）=3a+3x²-6，則對(duì)滿足-1≤a≤1的一切a的值，都有h（a）＜0成立，可得

h(1)＜0 h(-1)＜0

，從而可求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（Ⅲ）存在．方程f（x）=15有且只有一個(gè)實(shí)根，即為函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=15只有一個(gè)公共點(diǎn)，分類討論，可得-4＜a≤0，利用a是整數(shù)，即可得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)可得f′（x）=3x²+3a
∵函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線與直線y=6x+6平行，
∴f'（1）=6
∴3+3a=6，
∴a=1；
（Ⅱ）g（x）=f′（x）-6=3x²+3a-6
令h（a）=3a+3x²-6，則對(duì)滿足-1≤a≤1的一切a的值，都有h（a）＜0成立
∴

h(1)＜0 h(-1)＜0

，即

3x2-3＜0 3x2-9＜0

解得：-1＜x＜1
（Ⅲ）存在                 
理由如下：方程f（x）=15有且只有一個(gè)實(shí)根，即為函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=15只有一個(gè)公共點(diǎn)
∵f'（x）=3x²+3a，
∴（1）若a=0，則f'（x）≥0，∴f（x）在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增，此時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=15只有一個(gè)公共點(diǎn)；
（2）若a＜0，則f′(x)=3(x+

-a

)(x-

-a

)
列表如下：

x	(-∞，- -a )	- -a	(- -a ， -a )	-a	( -a ，+∞)
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）		f(- -a )		f( -a )

∴f極大值(x)=f(-

-a

)=(-

-a

)3+3a(-

-a

)-1=-2a

-a

-1；f極小值(x)=f(

-a

)=(

-a

)3+3a(

-a

)-1=2a

-a

-1＜0
依題意，必須滿足f(-

-a

)＜15，即(-a)

3

2

＜8，∴-4＜a＜0
綜上-4＜a≤0
∵a是整數(shù)，∴a可取-3，-2，-1，0
∴存在整數(shù)a的值為-3，-2，-1，0，使方程f（x）=15有且只有一個(gè)實(shí)根．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．