Question

四枚不同的金屬紀(jì)念幣A，B，C，D，投擲時(shí)，A，B兩枚正面向上的概率均為

1

2

，另兩枚C，D（質(zhì)地不均勻）正面向上的概率均為a（0＜a＜1）．將這四枚紀(jì)念幣同時(shí)投擲一次，設(shè)ξ表示出現(xiàn)正面向上的枚數(shù)．
（Ⅰ）求ξ的分布列（用a表示）；
（Ⅱ）若有一枚正面向上對(duì)應(yīng)的概率最大，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)題意得到變量ξ的可能取值為0，1，2，3，4，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式寫(xiě)出變量的概率，寫(xiě)出分布列和期望．
（II）根據(jù)有一枚正面向上對(duì)應(yīng)的概率最大和上一問(wèn)做出的概率值，列出不等式組，解出不等式組，得到要求的范圍．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得ξ的可能取值為0，1，2，3，4．
P(ξ=0)=(1-

1

2

)2(1-a)2=

1

4

(1-a)2
P(ξ=1)=

C

1 2

1

2

(1-

1

2

)(1-a)2+

C

1 2

a(1-a)(1-

1

2

)2=

1

2

(1-a)P(ξ=2)=(

1

2

)2(1-a)2+

C

1 2

a(1-a)

C

1 2

1

2

(1-

1

2

)+(1-

1

2

)2a2=

1

4

(1+2a-2a2)P(ξ=3)=(

1

2

)2

C

1 2

a(1-a)+a2

C

1 2

1

2

(1-

1

2

)=

a

2

P(ξ=4)=(

1

2

)2a2=

1

4

a2
∴ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3	4
P	1 4 (1-a)2	1 2 (1-a)	1 4 (1+2a-2a2)	1 2 a	1 4 a2

（Ⅱ）∵0＜a＜1
∴P（ξ=0）＜P（ξ=1），P（ξ=4）＜P（ξ=3）
∴

1 2 (1-a)＞ 1 4 (1+2a-2a2) 1 2 (1-a)＞ 1 2 a

，
解得

a＞ 2+ 2 2 或a＜ 2- 2 2 a＜ 1 2

∴a的取值范圍為(0，

2- 2

2

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，解題的關(guān)鍵是看清變量符合的概率情況，寫(xiě)出概率后面的問(wèn)題就可以解決．