Question

四枚不同的金屬紀(jì)念幣A、B、C、D，投擲時(shí)，A、B兩枚正面向上的概率為分別為

1

2

，另兩枚C、D正面向上的概率分別為a（0＜a＜1）．這四枚紀(jì)念幣同時(shí)投擲一次，設(shè)ξ表示出現(xiàn)正面向上的枚數(shù)．
（1）若A、B出現(xiàn)一正一反與C、D出現(xiàn)兩正的概率相等，求a的值；
（2）求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望（用a表示）；
（3）若有2枚紀(jì)念幣出現(xiàn)正面向上的概率最大，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)從M中任取一個(gè)元素是（3，5）的事件為B，則P（B）=

1

36

，由此能求出從M中任取一個(gè)元素是（3，5）的概率．
（2）設(shè)從M中任取一個(gè)元素，x+y≥10的事件為C，有（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），由此能求出從M中任取一個(gè)元素x+y≥10的概率．
（3）ξ可能取的值為2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，P（ξ=2）=

1

36

，P（ξ=3）=

2

36

，P（ξ=4）=

3

36

，P（ξ=5）=

4

36

，P（ξ=6）=

5

36

，P（ξ=7）=

6

36

，P（ξ=8）=

5

36

，P（ξ=9）=

4

36

，P（ξ=10）=

3

36

，P（ξ=11）=

2

36

，P（ξ=12）=

1

36

，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答：解：（1）設(shè)從M中任取一個(gè)元素是（3，5）的事件為B，則P（B）=

1

36

，
所以從M中任取一個(gè)元素是（3，5）的概率為

1

36

，
（2）設(shè)從M中任取一個(gè)元素，x+y≥10的事件為C，有
（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6）
則P（C）=

1

6

，所以從M中任取一個(gè)元素x+y≥10的概率為

1

6

．
（3）ξ可能取的值為2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12
P（ξ=2）=

1

36

，P（ξ=3）=

2

36

，P（ξ=4）=

3

36

，P（ξ=5）=

4

36

，P（ξ=6）=

5

36

，P（ξ=7）=

6

36

，
P（ξ=8）=

5

36

，P（ξ=9）=

4

36

，P（ξ=10）=

3

36

，P（ξ=11）=

2

36

，P（ξ=12）=

1

36

，
∴ξ的分布列為

ξ	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
P	1 36	2 36	3 36	4 36	5 36	6 36	5 36	4 36	3 36	2 36	1 36

∴Eξ=2×

1

36

+3×

2

36

+4×

3

36

+5×

4

36

+6×

5

36

+7×

6

36

+8×

5

36

+9×

4

36

+10×

3

36

+11×

2

36

+12×

1

36

=7．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差，綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．注意理解古典概型的特征：試驗(yàn)結(jié)果的有限性和每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的等可能性，體現(xiàn)了化歸的重要思想．