Question

在△ABC中，已知內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，向量

m

=(

3

，-2sinB)，

n

=(2cos2

B

2

-1，cos2B)，且

m

∥

n

，B為銳角．
（1）求角B的大�。�
（2）設(shè)b=2，求△ABC的面積S_△ABC的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)向量平行的條件得到

3

2cos2 B 2 -1

=

-2sinB

cos2B

，利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡可得tan2B的值，根據(jù)B為銳角，得到2B的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值求出B即可；
（2）根據(jù)求出的B的度數(shù)和b等于2，由余弦定理得到一個關(guān)于a和c的關(guān)系式，利用基本不等式求出ac的最大值，利用面積公式表示出三角形的面積，根據(jù)ac的最大值即可得到面積的最大值．

解答：解：（1）由

m

∥

n

得

3

cos2B+2sinB•(2cos2

B

2

-1)=0
即sin2B=-

3

cos2B．即tan2B=-

3

．
又∵B為銳角，∴2B∈（0，π）．
∴2B=

2π

3

，∴B=

π

3

；

（2）∵B=

π

3

，b=2，
∴由余弦定理cosB=

a2+c2-b2

2ac

得a²+c²-ac-4=0．
又∵a²+c²≥2ac，代入上式得ac≤4（當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時等號成立）．
∴S△ABC=

1

2

acsinB=

3

4

ac≤

3

（當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時等號成立）．
∴△ABC面積的最大值為

3

．

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生掌握向量平行時的條件，靈活運(yùn)用余弦定理和三角形的面積公式化簡求值，靈活運(yùn)用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及特殊角的三角函數(shù)值化簡求值，會利用基本不等式求函數(shù)的最值，是一道綜合題．