【題目】已知橢圓
： 
（
）的離心率
，直線
被以橢圓
的短軸為直徑的圓截得的弦長為
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）過點
的直線
交橢圓于
， 
兩個不同的點，且
，求
的取值范圍.
【答案】(1) 
；(2) 
.
【解析】試題分析：
（1）由直線與圓的位置關(guān)系可得
.由橢圓的離心率可得
，則橢圓
的方程為
.
（2）當(dāng)直線
的斜率為
時， 
，當(dāng)直線
的斜率不為
時，設(shè)直線
在y軸上的截距式方程為
， 
， 
，聯(lián)立方程可得
，滿足題意時
，結(jié)合韋達(dá)定理可知
，據(jù)此可知
.綜上可得
.
試題解析：
（1）因為原點到直線
的距離為
，
所以
（
），解得
.
又
，得
所以橢圓
的方程為
.
（2）當(dāng)直線
的斜率為
時， 
，
當(dāng)直線
的斜率不為
時，設(shè)直線
： 
， 
， 
，
聯(lián)立方程組
，得
，
由
，得
，
所以
，
，
由
，得
，所以
.
綜上可得： 
，即
.
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】為了進(jìn)一步推動全市學(xué)習(xí)型黨組織、學(xué)習(xí)型社會建設(shè)，某市組織開展“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”知識測試，每人測試文化、經(jīng)濟(jì)兩個項目，每個項目滿分均為60分.從全體測試人員中隨機(jī)抽取了100人，分別統(tǒng)計他們文化、經(jīng)濟(jì)兩個項目的測試成績，得到文化項目測試成績的頻數(shù)分布表和經(jīng)濟(jì)項目測試成績的頻率分布直方圖如下：
經(jīng)濟(jì)項目測試成績頻率分布直方圖
分?jǐn)?shù)區(qū)間 | 頻數(shù) |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| 15 |
| 40 |
| 35 |
文化項目測試成績頻數(shù)分布表
將測試人員的成績劃分為三個等級如下：分?jǐn)?shù)在區(qū)間
內(nèi)為一般，分?jǐn)?shù)在區(qū)間
內(nèi)為良好，分?jǐn)?shù)在區(qū)間
內(nèi)為優(yōu)秀.
（1）在抽取的100人中，經(jīng)濟(jì)項目等級為優(yōu)秀的測試人員中女生有14人，經(jīng)濟(jì)項目等級為一般或良好的測試人員中女生有34人.填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有
以上的把握認(rèn)為“經(jīng)濟(jì)項目等級為優(yōu)秀”與性別有關(guān)？
優(yōu)秀 | 一般或良好 | 合計 | |
男生數(shù) | |||
女生數(shù) | |||
合計 |
（2）用這100人的樣本估計總體，假設(shè)這兩個項目的測試成績相互獨立.
（i）從該市測試人員中隨機(jī)抽取1人，估計其“文化項目等級高于經(jīng)濟(jì)項目等級”的概率.
（ii）對該市文化項目、經(jīng)濟(jì)項目的學(xué)習(xí)成績進(jìn)行評價.
附：
| 0.150 | 0.050 | 0.010 |
| 2.072 | 3.841 | 6.635 |
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖所示，在長方體
中，
，點E是棱
上的一個動點，若平面
交棱
于點
，給出下列命題：
①四棱錐
的體積恒為定值；
②存在點
，使得
平面
；
③對于棱上任意一點，在棱
上均有相應(yīng)的點
，使得
平面
；
④存在唯一的點，使得截面四邊形
的周長取得最小值.
其中真命題的是____________．（填寫所有正確答案的序號）
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某工廠對一批產(chǎn)品進(jìn)行了抽樣檢測.如圖是根據(jù)抽樣檢測后的產(chǎn)品凈重(單位：克)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖，其中產(chǎn)品凈重的范圍是[96,106]，樣本數(shù)據(jù)分組為[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個數(shù)是36.
(1)求樣本容量及樣本中凈重大于或等于96克并且小于102克的產(chǎn)品的個數(shù)；
(2)已知這批產(chǎn)品中每個產(chǎn)品的利潤y(單位：元)與產(chǎn)品凈重x(單位：克)的關(guān)系式為
求這批產(chǎn)品平均每個的利潤.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面四邊形ABCD是矩形，平面DCC1D1⊥平面ABCD.AD=3，CD=DD1=5，∠D1DC=120°，M，N分別是線段AD1，BD的中點.
（1）求證：MN//平面DCC1D1；
（2）求證：MN⊥平面ADC1；
（3）求三棱錐D1﹣ADC1的體積.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某校工會開展健步走活動，要求教職工上傳3月1日至3月7日微信記步數(shù)信息，下圖是職工甲和職工乙微信記步數(shù)情況：
（Ⅰ）從3月1日至3月7日中任選一天，求這一天職工甲和職工乙微信記步數(shù)都不低于10000的概率；
（Ⅱ）從3月1日至3月7日中任選兩天，記職工乙在這兩天中微信記步數(shù)不低于10000的天數(shù)為
，求 的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）如圖是校工會根據(jù)3月1日至3月7日某一天的數(shù)據(jù)，制作的全校200名教職工微信記步數(shù)的頻率分布直方圖．已知這一天甲和乙微信記步數(shù)在單位200名教職工中排名分別為第68和第142，請指出這是根據(jù)哪一天的數(shù)據(jù)制作的頻率分布直方圖（不用說明理由）．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】定義集合
與集合
之差是由所有屬于且不屬于的元素組成的集合，記作
且
．已知集合
．
（Ⅰ）若集合
，寫出集合
的所有元素；
（Ⅱ）從集合
選出10個元素由小到大構(gòu)成等差數(shù)列，其中公差的最大值
和最小值
分別是多少？公差為和的等差數(shù)列各有多少個？
（Ⅲ）設(shè)集合
,且集合
中含有10個元素，證明：集合
中必有10個元素組成等差數(shù)列．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】己知兩點
，
，動點P在y軸上的攝影是H，且
，
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）設(shè)直線
，
的兩個斜率存在，分別記為
，
，若
，求點P的坐標(biāo)；
（3）若經(jīng)過點
的直線l與動點P的軌跡有兩個交點為T、Q，當(dāng)
時，求直線l的方程.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】《復(fù)仇者聯(lián)盟4：終局之戰(zhàn)》是安東尼·羅素和喬·羅素執(zhí)導(dǎo)的美國科幻電影，改編自美國漫威漫畫，自2019年4月24日上映以來票房火爆.某電影院為了解在該影院觀看《復(fù)仇者聯(lián)盟4》的觀眾的年齡構(gòu)成情況，隨機(jī)抽取了100名觀眾的年齡，并分成
，
，
，
，
，
，
七組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）求這100名觀眾年齡的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）、中位數(shù)；
（2）該電影院擬采用抽獎活動來增加趣味性，觀眾可以選擇是否參與抽獎活動（不參與抽獎活動按原價購票），活動方案如下：每張電影票價格提高10元，同時購買這樣電影票的每位觀眾可獲得3次抽獎機(jī)會，中獎1次則獎勵現(xiàn)金
元，中獎2次則獎勵現(xiàn)金
元，中獎三次則獎勵現(xiàn)金
元，其中
且
，已知觀眾每次中獎的概率均為
.
①以某觀眾三次抽獎所獲得的獎金總額的數(shù)學(xué)期望為評判依據(jù)，若要使抽獎方案對電影院有利，則最高可定為多少；
②據(jù)某時段內(nèi)的統(tǒng)計，當(dāng)
時該電影院有600名觀眾選擇參加抽獎活動，并且每增加1元，則參加抽獎活動的觀眾增加100人.設(shè)該時間段內(nèi)觀影的總?cè)藬?shù)不變，抽獎活動給電影院帶來的利潤的期望為
，求的最大值.
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