如圖，四棱錐
的底面
是矩形，
，且側面
是正三角形，平面
平面，
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）在棱
上是否存在一點
，使得二面角
的大小為45°.若存在，試求
的值，若不存在，請說明理由.
（1）見解析；（2）45°.
【解析】第一問先利用取
中點
，由
，得
，又平面
平面
，且平面
平面
，所以
平面，然后以為原點，建立空間直角坐標系
，結合向量的數量積公式
得到證明。
第二問中，假設在棱
上存在一點
，不妨設
，
則點的坐標為
則得到平面
的一個法向量
.，
又面
的法向量可以是
向量的夾角公式，表示出二面角，從而解得。
取中點，則由，得，又平面平面，且平面平面，所以平面.以為原點，建立空間直角坐標系（如圖）.則
……………………………2分
（Ⅰ）證明：∵
……………………………………………………………………4分
∴，
∴
，即
.…………………………………6分
（Ⅱ）假設在棱上存在一點，不妨設
，
則點的坐標為，……………………………8分
∴
設
是平面的法向量，則
不妨取
，則得到平面的一個法向量.…………………10分
又面的法向量可以是
要使二面角
的大小等于45°，
則
45°=
可解得
，即
故在棱上存在點，當
時，使得二面角的大小等于45°. ………12分
科目：高中數學 來源： 題型：
（09年朝陽區(qū)二模文）（13分）
如圖，四棱錐
的底面是矩形，
底面
，
為
邊的中點，
與平面所成的角為
，且
，
.
(Ⅰ) 求證：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的大小.
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科目：高中數學 來源： 題型：
（09年山東實驗中學診斷三理）（13分）如圖：四棱錐
的底面
是提醒，腰
，
平分
且與
垂直，側面
都垂直于底面，平面
與底面成60°角
（1）求證：
；
（2）求二面角
的大小
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科目：高中數學 來源：2011-2012學年福建省高三第八次月考文科數學試卷 題型：解答題
如圖，四棱錐
的底面是平行四邊形，
平面
,
,
,
點
是
上的點，且
．
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）求
的值，使
平面
；
（Ⅲ）當
時，求三棱錐
與四棱錐的體積之比．
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科目：高中數學 來源：2011-2012學年浙江省高三上學期摸底理科數學 題型：解答題
（（本小題滿分14分）如圖，四棱錐
的底面
是正方形，側棱
底面，
，
、
分別是棱
、
的中點.
（1）求證:
； （2） 求直線
與平面
所成的角的正切值
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科目：高中數學 來源：2010-2011年四川省成都市高二3月月考數學試卷 題型：填空題
（本小題滿分12 分）
如圖，四棱錐
的底面是邊長為
的菱形，
，
平面
，
，
為
的中點，O為底面對角線的交點；
（1）求證：平面
平面；
（2）求二面角
的正切值。
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