Question

 [番茄花園1] 如圖，在多面體中，四邊形是正方形，，，，，，為的中點(diǎn).

(Ⅰ)求證：平面；

(Ⅱ)求證：平面；

(Ⅲ)求二面角的大小.

 

 

 

 

 

 

 

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 [番茄花園1]18.

Answer 1

【答案】

 [番茄花園1] (綜合法)(Ⅰ)證：設(shè)與交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn).連、，

又為的中點(diǎn)，∴.又，∴.

∴四邊形為平行四邊形.

∴.而平面，∴平面.

(Ⅱ)證：由四邊形是正方形，有.又，

∴.

而，∴平面.∴，.

又，為的中點(diǎn)，∴.

∴平面，∴.

又，∴.

又，，∴平面.

(Ⅲ)解：，，∴平面.

在平面內(nèi)過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，則為二面角的一個(gè)平面角.

設(shè)，則，，.

又，∴.∴.

，，∴.

(向量法)：

∵四邊形為正方形，∴，又，

∴.

又，∴平面.

∴，∴.

又，為的中點(diǎn)，∴，∴平面.

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，建立如圖所示坐標(biāo)系.

設(shè)，則，，，，，.

(Ⅰ)證：設(shè)與交于點(diǎn)，連、，則，

∴，又，∴.

平面，不在平面內(nèi)，∴平面.

(Ⅱ)證：，，，∴.

設(shè)平面的法向量為，

則，，

∴，，即.

，.

設(shè)平面的法向量為，

則，，，，故.

，

∴，即二面角為.

 

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 [番茄花園1]18.