Question

【題目】曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），是曲線上的動點(diǎn)，且是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡為曲線，直線的極坐標(biāo)方程為，直線與曲線交于兩點(diǎn).

（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；

（2）寫出過點(diǎn)的直線的參數(shù)方程，并求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（為參數(shù)）；

【解析】

（1）設(shè)，則，由點(diǎn)在曲線上可將M點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線參數(shù)方程中得點(diǎn)P的軌跡方程，再將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程即可；利用兩角和的正弦公式及可將直線l的極坐標(biāo)方程化為普通方程；

（2）利用點(diǎn)M的坐標(biāo)求出直線的參數(shù)方程，與曲線的普通方程聯(lián)立得關(guān)于t的一元二次方程，根據(jù)t的幾何意義可得結(jié)果.

（1）設(shè)，由條件知，因?yàn)?/span>點(diǎn)在曲線上，

所以，即，

所以曲線的普通方程.

直線的方程為，由知直線l的直角坐標(biāo)方程為.

（2）點(diǎn)在直線上，則直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），

代入曲線的普通方程得：

，

所以.