Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2tx+1，x∈[2，5]有反函數(shù)，且函數(shù)f（x）的最大值為8，求實數(shù)t的值．

Answer 1

解：因為函數(shù)有反函數(shù)，所以在定義域內(nèi)是一一對應(yīng)的函數(shù)f（x）=x²-2tx+1的對稱軸為x=t，所以t≤2或t≥5
若t≤2，在區(qū)間[2，5]上函數(shù)是單調(diào)遞增的，所以f（x）_max=f（5）=25-10t+1=8，解得，符合
若t≥5，在區(qū)間[2，5]上函數(shù)是單調(diào)遞減的，所以f（x）_max=f（2）=4-4t+1=8，解得，與t≥5矛盾，舍去
綜上所述，滿足題意的實數(shù)t的值為
分析：二次函數(shù)存在反函數(shù)，則它一定是區(qū)間[2，5]上的單調(diào)函數(shù)，函數(shù)f（x）=x²-2tx+1的對稱軸為x=t，通過討論對稱軸與區(qū)間[2，5]的關(guān)系，可求函數(shù)的最大值，函數(shù)f（x）的最大值為8，解方程可求得t值
點評：本題考查了函數(shù)反函數(shù)存在的充要條件以及二次函數(shù)最大值的求法，解題時要學(xué)會分類討論，做到不重不漏