Question

已知數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，它的前n項和S_n滿足Sn=

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(an+1)(an+2)，并且a₂，a₄，a₉成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=（-1）ⁿ⁺¹a_na_n+1，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項和，求T_2n．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)Sn=

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6

(an+1)(an+2)可類比的得到Sn-1=

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(an-1+1)(an-1+2)，然后兩式相減得到（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0，再由{a_n}的各項均為正數(shù)，可得到a_n-a_n-1=3，再由等差數(shù)列的通項公式法可得到答案．
（2）先根據(jù)b_n=（-1）ⁿ⁺¹a_na_n+1，可得到T_2n=b₁+b₂+…+b_2n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…-a_2na_2n+1，再由等差數(shù)列的前n項和公式可得到答案．

解答：解：（1）∵對任意n∈N*，有Sn=

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(an+1)(an+2)①當(dāng)n≥2時，
有Sn-1=

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(an-1+1)(an-1+2)②
當(dāng)①-②并整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0，
而{a_n}的各項均為正數(shù)，所以a_n-a_n-1=3．
∴當(dāng)n=1時，有S1=a1=

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6

(a1+1)(a1+2)，解得a₁=1或2，
當(dāng)a₁=1時，a_n=1+3（n-1）=3n-2，此時a₄²=a₂a₉成立；
當(dāng)a₁=2時，a_n=2+3（n-1）=3n-1，此時a₄²=a₂a₉不成立；舍去．
所以a_n=3n-2，n∈N*，
（2）T_2n=b₁+b₂+…+b_2n
=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…-a_2na_2n+1
=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）+…+a_2n（a_2n-1-a_2n+1）
=-6a₂-6a₄-…-6a_2n=-6（a₂+a₄+…+a_2n）
=-6×

n(4+6n-2)

2

=-18n2-6n．

點評：本題主要考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用和等差數(shù)列的求和公式的應(yīng)用．考查綜合運用能力．