Question

如圖，在四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，

（Ⅰ）求證：平面BCD；

（Ⅱ）求異面直線AB與CD所成角的余弦值；

（Ⅲ）求點(diǎn)E到平面ACD的距離．

Answer 1

(1)證明見(jiàn)解析(2)  (3)

解析:

方法一：⑴．證明：連結(jié)OC

     ………… 1分

    ，． ……… 2分

    在中，由已知可得 … 3分

而，     …………………  4分

    即  …………………  5分

    ∴平面．   ……………………………  6分

⑵．解：取AC的中點(diǎn)M，連結(jié)OM、ME、OE，由E為

BC的中點(diǎn)知，

∴　直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角，…………… 8分

在中，  

是直角斜邊AC上的中線，∴ ……………9分

∴，    ……………………… 10分

∴異面直線AB與CD所成角的余弦值為． …………………………  11分

⑶．解：設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為． ，  ………………………………………………12分

    在中，,

    ,而，．

    ∴，   ∴點(diǎn)E到平面ACD的距離為  …14分

    方法二：⑴．同方法一．

    ⑵．解：以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則

   

    ，    ……………   9分

   

∴ 異面直線AB與CD所成角的余弦值為．……   10分

    ⑶．解：設(shè)平面ACD的法向量為則

    ，

∴，令得是平面ACD的一個(gè)法向量．

    又 ∴點(diǎn)E到平面ACD的距離  ．…14分