Question

（2006•朝陽區(qū)一模）已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的中心在坐標原點O，一條準線的方程是x=4，過橢圓的左焦點F，且方向向量為

a

=（1，1）的直線l交橢圓于A、B兩點，AB的中點為M．
（Ⅰ）求直線OM的斜率（用a、b表示）；
（Ⅱ）直線AB與OM的夾角為α，當tanα=7時，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：（I）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），因為A、B在橢圓上將兩式相減可得直線AB的斜率與直線OM的斜率的關系，從而求出所求；
（Ⅱ）由（I）以及tanα=7可求出a與b的關系，再根據(jù)橢圓中心在坐標原點O，一條準線的方程是x=4可求出a與c的等式，即可求出a，b，c從而求得橢圓的方程．

解答：解：（I）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），因為A、B在橢圓上
所以

x 2 1

a2

+

y 2 1

b2

=1，  

x 2 2

a2

+

y 2 2

b2

=1
兩式相減，得：

y1-y2

x1-x2

•

y1+y2

x1+x2

=-

b2

a2

∵kAB=

y1-y2

x1-x2

=1，kOM=

y1+y2

x1+x2

∴kOM=-

b2

a2

…（6分）

（II）因為直線AB與OM的夾角為α，tanα=7
由（I）知kAB=1，kOM=-

b2

a2

∴tanα=

1+ b2 a2

1- b2 a2

=7①
又橢圓中心在坐標原點O，一條準線的方程是x=4∴

a2

c

=4②
在橢圓中，a²=b²+c²③
聯(lián)立①②③，解得：

a2=4 b2=3

…（12分）
所以，橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1…（13分）

點評：本題主要考查了點差法求斜率，以及橢圓的標準方程，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．