Question

（2006•朝陽(yáng)區(qū)一模）設(shè)函數(shù)f（x）=ax³+cx（a，c∈R），當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取極小值-

2

3

．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若x₁，x₂∈[-1，1]時(shí)，求證：|f(x1)-f(x2)|≤

4

3

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得f′(1)=0，f(1)=-

2

3

，得a，c的方程組，解出即得a，c；
（Ⅱ）只需證明|f（x₁）-f（x₂）|≤f_max（x）-f_min（x）≤

4

3

；

解答：（I）解：∵f（x）=ax³+cx，∴fn（x）=3ax²+c，
∵在x=1時(shí)，f（x）取極小值-

2

3

，
∴

f′(1)=0 f(1)=- 2 3

，即

3a+c=0 a+c=- 2 3

，解得

a= 1 3 c=-1

，
∴f(x)=

1

3

x3-x；
（II）證明：∵f′（x）=x²-1，令f′（x）=0，得x=±1，
∵x∈（-∞，-1）或x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；x∈（-1，1）時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在[-1，1]上是減函數(shù)，且fmax(x)=f(-1)=

2

3

，fmin(x)=f(1)=-

2

3

，
∴在[-1，1]上|f(x)|≤

2

3

，
故|f（x₁）-f（x₂）|≤f_max（x）-f_min（x）=

2

3

-(-

2

3

)=

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化思想，解決（II）問(wèn)的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決．