Question

【題目】已知數(shù)列前項(xiàng)和為，且滿足，.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）令，為的前項(xiàng)和，求證：.

（3）在（2）的條件下，若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，求證

（4）請(qǐng)你說明第（3）問所用到的求和方法，哪些數(shù)列通項(xiàng)的模型適合此方法？請(qǐng)舉例說明.（至少列舉出三種）

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析（4）裂項(xiàng)相消法,說明見解析（答案不唯一）

【解析】

（1）當(dāng)時(shí),與條件作差可得,討論是否滿足,進(jìn)而求解即可；

（2）由（1）,,則,進(jìn)行放縮可得,進(jìn)而利用裂項(xiàng)相消法求解即可；

（3）由（2）,,進(jìn)而利用裂項(xiàng)相消法求解即可；

（4）第（3）問使用的是裂項(xiàng)相消的求和方法,舉例說明即可.

（1）因?yàn)?/span>,

當(dāng)時(shí),,

所以,即,

當(dāng)時(shí),,即,

又,則,滿足上式,

所以數(shù)列是首項(xiàng)為2,公比為4的等比數(shù)列,

所以

（2）證明:由（1）,則,

所以,

當(dāng)時(shí),,

則

（3）證明:由（2）,則,

所以

（4）第（3）問使用的是裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和,

；；均適合該方法.