Question

已知向量

a

=(sinx，cosx)，

b

=(sinx，sinx)，

c

=(-1，0)．
（1）若x=

π

3

，求向量

a

、

c

的夾角θ；
（2）若x∈[-

3π

8

，

π

4

]，函數(shù)f(x)=λ

a

•

b

的最大值為

1

2

，求實(shí)數(shù)λ的值．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)x=

π

3

時(shí)，求出向量

a

、

c

，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出向量

a

•

c

，從而求出向量

a

、

c

的夾角θ；（2）向量

a

=(sinx，cosx)，

b

=(sinx，sinx)，代入函數(shù)f(x)=λ

a

•

b

，利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)在定區(qū)間上的最值，即可求得結(jié)果．

解答：解：（1）當(dāng)x=

π

3

時(shí)，

a

=(

3

2

，

1

2

)，
所以cosθ=

a • c

|a |•| c |

=

- 3 2

1×1

=-

3

2

，
因而θ=

5π

6

；
（2）f(x)=λ(sin2x+sinxcosx)=

λ

2

(1-cos2x+sin2x)，f(x)=

λ

2

(1+

2

sin(2x-

π

4

))，
因?yàn)?span id="8we2slv" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">x∈[-

3π

8

，

π

4

]，
所以2x-

π

4

∈[-

π

2

，

π

4

]，
當(dāng)λ＞0時(shí)，fmax(x)=

λ

2

(1+1)=

1

2

，即λ=

1

2

，
當(dāng)λ＜0時(shí)，fmax(x)=

λ

2

(1-

2

)=

1

2

，即λ=-1-

2

，
所以λ=

1

2

或λ=-1-

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)中檔題．考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量的夾角，和三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和三角函數(shù)在定區(qū)間上的最值等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)也考查了學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力．