Question

如圖所示是某水產(chǎn)養(yǎng)殖場的養(yǎng)殖大網(wǎng)箱的平面圖，四周的實(shí)線為網(wǎng)衣，為避免混養(yǎng)，用篩網(wǎng)（圖中虛線）把大網(wǎng)箱隔成大小一樣的小網(wǎng)箱．
（1）若大網(wǎng)箱的面積為108平方米，每個小網(wǎng)箱的長x，寬y設(shè)計(jì)為多少米時，才能使圍成的網(wǎng)箱中篩網(wǎng)總長度最��；
（2）若大網(wǎng)箱的面積為160平方米，網(wǎng)衣的造價為112元/米，篩網(wǎng)的造價為96元/米，且大網(wǎng)箱的長與寬都不超過15米，則小網(wǎng)箱的長、寬為多少米量，可使總造價最低？

Answer 1

分析：（1）將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，出現(xiàn)乘積是定值，且等號能取到，利用基本不等式求最值．
（2）將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，出現(xiàn)乘積是定值，但等號取不到，不能用基本不等式求最值，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性求最值．

解答：解：（1）設(shè)小網(wǎng)箱的長、寬分別為x米、y米，篩網(wǎng)總長度為S，
依題意4x•2y=108，即xy=

27

2

，S=4x+6y，
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">4x+6y=2(2x+3y)≥4

6xy

=36，所以S≥36，
當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y時，等號成立，
解方程組

2x=3y xy= 27 2

得

x=4.5 y=3.

即每個小網(wǎng)箱的長與寬分別為與4.5米與3米時，網(wǎng)箱中篩網(wǎng)的總長度最小．
（2）設(shè)總造價為W元，則由4x•2y=160，得xy=20，
因?yàn)?x≤15，2y≤15，所以x≤

15

4

，y≤

15

2

，y=

20

x

≤

15

2

，∴

8

3

≤x≤

15

4

W=(8x+4y)•112+(4x+6y)•96=(8x+4×

20

x

)•112+(4x+6×

20

x

)•96=1280(x+

16

x

)，
求導(dǎo)，可得W（x）在[

8

3

，

15

4

]上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x=

15

4

時，W最小，此時x=

15

4

，y=

16

3

，
即當(dāng)小網(wǎng)箱的長與寬分別為

15

4

米與

16

3

米時，可使總造價最低．

點(diǎn)評：本題考查利用基本不等式請求函數(shù)的最值是一定注意使用的條件：一正；二定；三相等．